设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 06:21:41

设a∈R，函数f（x）=ax³-3x²．
（Ⅰ）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

（Ⅰ）f'（x）=3ax²-6x=3x（ax-2）．
因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a-2）=0，因此a=1．
经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅱ）由题设，g（x）=ax³-3x²+3ax²-6x=ax²（x+3）-3x（x+2）．
当g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）时，g（0）≥g（2），
即0≥20a-24．
故得a≤
6
5．
反之，当a≤
6
5时，对任意x∈[0，2]，g(x)≤
6
5x2(x+3)−3x(x+2)=
3x
5(2x2+x−10)=
3x
5(2x+5)(x−2)≤0，
而g（0）=0，故g（x）在区间[0，2]上的最大值为g（0）．
综上，a的取值范围为(−∞，
6
5]．

设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（2009•惠州模拟）已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（2014•天津）已知函数f（x）=x2-23ax3（a＞0），x∈R．（2013•温州二模）已知函数f（x）=13ax3−12x2−16，a∈R．（2012•资阳一模）已知函数f(x)＝13ax3+x2−x，a∈R 已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1,a?R 当a=-3时,求证：f(x)在R上是减函数 ? 已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数,求a的取值范围. 关于导数单调性问题已知函数f（x）=ax3+x2-ax,其中a,x∈R．（ I）当a=1时,求函数f（x）的单调递减区间已知函数f(x)＝13ax3−x2+2，x∈R．已知函数f（X）=ax3-3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，设函数f(x)=ax3-3x的平方(a∈R),且x=2是y=f(x)的极值点.（1）求实数a的值.并求函数的单调区间（已知函数f(x)=1/3ax3-1/4x2+cx+d(a、c、d∈R）满足f(0)=0,f'(1）=0且f′（x)≥0在