（2014•天津）已知函数f（x）=x2-23ax3（a＞0），x∈R．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/19 00:46:13

（2014•天津）已知函数f（x）=x²-

（Ⅰ）f′（x）=2x-2ax²=2x（1-ax），
∵a＞0，∴当x＜0或x＞
1
a时，f′（x）＜0，当0＜x＜
1
a时，f′（x）＞0，
f（x）单调递减区间为：（-∞，0）和(
1
a，+∞)，单调递增区间为(0，
1
a)，
当x=0时，有极小值f（0）=0，当x=
1
a时，有极大值f（
1
a）=
1
3a2；
（Ⅱ）由f（0）=f（
3
2a）=0及（Ⅰ）知，当x∈（0，
3
2a）时，f（x）＞0；当x∈（
3
2a，+∞）时，f（x）＜0．
设集合A={f（x）|x∈（2，+∞）}，集合B={
1
f(x)|x∈（1，+∞），f（x）≠0}，则对于任意的x₁∈（2，+∞），都存在x₂∈（1，+∞），使得f（x₁）•f（x₂）=1，等价于A⊆B，显然A≠∅
下面分三种情况讨论：
（1）当
3
2a＞2，即0＜a＜
3
4时，由f（
3
2a）=0可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集；
（2）当1≤
3
2a≤2，即
3
4≤a≤
3
2时，f（2）≤0，且f（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（-∞，f（2）），∴A⊆（-∞，0）；由f（1）≥0，有f（x）在（1，+∞）上的取值范围包含（-∞，0），即（-∞，0）⊆B，∴A⊆B；
（3）当
3
2a＜1，即a＞
3
2时，有f（1）＜0，且f（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=（
1
f(1)，0），A=（-∞，f（2）），∴A不是B的子集．
综上，a的取值范围是[
3
4，
3
2]．

（2014•天津）已知函数f（x）=x2-23ax3（a＞0），x∈R．设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．（2009•惠州模拟）已知函数f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．（2012•资阳一模）已知函数f(x)＝13ax3+x2−x，a∈R （2014•西城区模拟）已知函数f（x）=x-sinx-13ax3，其中a∈R．（2013•温州二模）已知函数f（x）=13ax3−12x2−16，a∈R．已知函数f（X）=ax3-3x2+x+b，其中a，b∈R，a≠0，又y=f（x）在x=1处的切线方程为2x+y+1=0，关于导数单调性问题已知函数f（x）=ax3+x2-ax,其中a,x∈R．（ I）当a=1时,求函数f（x）的单调递减区间已知函数f(x)=1/3ax3-1/4x2+cx+d(a、c、d∈R）满足f(0)=0,f'(1）=0且f′（x)≥0在（2014•天津模拟）已知函数f（x）=x3-3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．已知函数f（x）=ax3+3x2－x+1在R上是减函数,求a的取值范围. 已知函数f（x）=ax3-3x．