如图,在平面直角坐标系中,三角形AOB的顶点O是坐标原点,点A坐标为(1,3),A,B两点关于直线y=x对称,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 16:25:40

如图,在平面直角坐标系中,三角形AOB的顶点O是坐标原点,点A坐标为(1,3),A,B两点关于直线y=x对称,
反比例函数y=k除x（x大于0）图像经过点A,点P是直线y=x上一动点
这是福州外国语学校的一道题,

（1）B点的坐标为（3,1）；
（2）∵反比例函数y=
k
x
（x＞0）图象经过点A（1,3）,
∴k=1×3=3,
∴反比例函数的解析式为y=
3
x
,
∵点P在直线y=x上,
∴设P（m,m）
①若PC为平行四边形的边,
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2,点A的纵坐标比点B的纵坐标大2,
∴点C在点P的下方,则点C的坐标为（m+2,m-2）如图1,
若点C在点P的上方,则点C的坐标为（m-2,m+2）如图2,
把C（m+2,m-2）代入反比例函数的解析式得：m=±
7
,
∵m＞0,
∴m=
7
,＞
∴C1（
7
+2,
7
−2）,
同理可得另一点C2（
7
-2,
7
+2）；
②若PC为平行四边形的对角线,如图3,
∵A、B关于y=x对称,
∴OP⊥AB
此时点C在直线y=x上,且为直线y=x与双曲线y=
3
x
的交点,
由
y＝x
y＝
3
x
解得
x1＝
3
y1＝
3
,
x2＝−
3
y2＝−
3
（舍去）
∴C3（
3
,
3
）
综上所述,满足条件的点C有三个,坐标分别为：C1（
7
+2,
7
−2）,C2（
7
-2,
7
+2）,C3（
3
,
3
）；
（3）连接AQ,设AB与PO的交点为D,如图4,
∵四边形AOBP是菱形,
∴AO=AP
∵S△AOP=S△AOQ+S△APQ,
∴
1
2
PO•AD=
1
2
AO•QE+
1
2
AP•QF
∴QE+QF=
PO•AD
AO
为定值,
∴要使QE+QF+QB的值最小,只需QB的值当QB⊥PO时,QB最小,
所以D点即为所求的点,
∵A（1,3）,B（3,1）
∴D（2,2）,
∴当QE+QF+QB的值最小时,Q点坐标为（2,2）．
详细http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/f9431551-9f59-4ad9-a698-a9ce6891bc9a