在平面直角坐标系中,O为坐标原点.二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1,0）,顶点为B.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 08:53:12

在平面直角坐标系中,O为坐标原点.二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1,0）,顶点为B.
在平面直角坐标系中,O为坐标原点.二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1,0）,顶点为B.
（1）已求出：y=-x^2+2x+3
（2）如果点C的坐标为（4,0）,AE垂直于BC,垂足为E,点D在直线AE上,DE=1,求点D的坐标
大致思路+点D坐标!（没写思路也要答案!）
如图
D有两个解（一个在E上、一个在E下）

(1)二次函数y=-x²+bx+3的图象经过点A（-1,0）
⇒y=-x²+2x+3.
(2)配方,得
y=-x²+2x+3
=-（x-1)² +4
⇒顶点B为（1,4）.
又点A（-1,0）,C（4,0）.
设点E为（x,y).
连接AB,AE.
作BG⊥AC于G.
⇒BG=4,
AC=5,
由两点间距离公式,得
AE²=(x+1)²+y²
⇒AE=√[(x+1)²+y²].
AB²=2²+4²=20,
BE²=(x-1)²+(y-4)².
而△ABC的面积=AC*BG/2=5*4/2=10,
又△ABC的面积=BC*AE/2=5*√[(x+1)²+y²]/2.
得5*√[(x+1)²+y²]/2=10
⇒√[(x+1)²+y²]=4
⇒(x+1)²+y²=16
⇒x²+y²+2x-15=0.         (1)
由勾股定理,得
AE²+BE²=AB²
⇒(x+1)²+y²(x-1)²+(y-4)²=20
⇒2x²+2y²-8y-2=0.         (2)
(1)*2-(2).得
x+2y-7=0
⇒y=(7-x)/2                    (3)
(3)代入(1),整理得
5x²-6x-11=0.
解得
x=2.2.
y=(7-2.2)/2=2.4.
∴垂足E为（2.2,2.4）.（注意：E不在抛物线上）
同样,
设点D为（x,y).
在直角三角形BDE和直角三角形CDE中,
由勾股定理,可求点D的坐标为（1.65,2）.
如图.

再问： D有两个解（一个在E上、一个在E下）
再答：若为|DE|=1，才有点D在AE的延长线上。
再问： DE是距离，你看到哪个距离是负的？这个DE=1是距离的长度，不是向量的值。。所以D点有两个！就像在△ABC中，AB=5和BA=5有区别吗？
再答：设点D为（x,y). 在直角三角形BDE中有：点B为（1,4），垂足E为（2.2,2.4）。由勾股定理，得： DE²+BE²=DB² ⇒(x-2.2)²+(y-2.4) ²+(2.2-1) ²+(2.4-4) ²=(x-1) ²+(y-4) ² 展开整理得： y=0.75x-0.75 (1) 由|DE|=1 ⇒(x-2.2)²+(y-2.4) ²=1 （2）（1）代入（2）展开整理得： 5x²-22x+21=0. 解得：x=3,或x=1.4. 当x=3时,y=3; 当x=1.4时,y=1.8. ∴点D的坐标为（3,3）或（1.4,1.8）。
再问：为什么你两次答案不一？没写错吧？。。
再答：答案：点D的坐标为（3,3）或（1.4,1.8）。