曲线积分与路径无关,单连通域.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 14:10:20

曲线积分与路径无关,单连通域.
1.∫(xdy-ydx)/(x^2+y^2) 有平面线D:x^2+y^2>0
2.∫(xdx+ydy)/(x^2+y^2) 有平面线D:x^2+y^2>0
这俩道题都有aq/ax=ap/ay,但是第一个与路径有关,而第二个与路径无关.
因为D不是单连通域.
请问：
1.为什么不是单连通域,平面线D:x^2+y^2>0避开了(0,0)点啊
2.就算不是单连通域,上面俩道题共用一个D域啊,为什么第一个有关,第二个无关.

/>①确实D不是单连通域：
正是因为避开了(0,0)点,所以D是由整个平面挖去了(0,0)点以后而构成的,这样的域不是单连通域.
②在“与路径无关的条件”的定理当中,前提条件是“在单连通域上”,而现在D不是单连通域,所以,虽然有aq/ax=ap/ay,但是不能保证“与路径无关”这个结论一定成立.
③虽然两道题是同一个D,但是被积函数不同,所以,一个有关,另一个无关,这是有可能的.
就象定积分,都是在区间[a,b]上积分,如果被积函数不同,那积分的结果很可能不同.
④至于具体到这两个题,为什么第一个有关,第二个无关,这是可以证明的事实.
证明的方法：第一个有关的证明,在同济5版下册P146例4就是.
第二个无关的证明,参考例4就可以得到.

说明,②③是对于问题的理解.
①④是对于问题的具体解决.
原答案说：因为D不是单连通域,确因如此.

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