作业帮已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,向量OA*向量OB=0(O为坐标原点),问：
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 08:41:07
已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,向量OA*向量OB=0(O为坐标原点),问：
(1)探究：点O到直线AB的距离是否为定值,若是,求处该定值,若不是,说明理由
(2)求|OA|*|OB|的最小值?
(1)探究：点O到直线AB的距离是否为定值,若是,求处该定值,若不是,说明理由
(2)求|OA|*|OB|的最小值?
当直线l没有斜率时,
设l:x=t,代入椭圆C:x^2/4+y^2=1
得：t²/4+y²=1,y²=1-t²/4
∵向量OA*向量OB=0
∴t²=1-t²/4,t²=4/5,|t|=2√5/5
即O到l的距离为2√5/5
当直线l有斜率时,
设l:y=kx+m代入椭圆C:x^2/4+y^2=1
x²/4+(kx+m)²=1
即(4k²+1)x²+8kmx+4m²-4=0
Δ=64k²m²-16(4k²+1)(m²-1)>0
==> 1+4k²>m²
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-8km/(4k²+1),x1x2=4(m²-1)/(4k²+1)
∵向量OA*向量OB=0
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k²+1)x1x2+km(x1+x2)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)/(4k²+1)-8k²m²/(4k²+1)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)-8k²m²+(4k²+1)m²=0
∴ 5m²=4(k²+1) |m|/√(k²+1)=2√5/5
那么O到l的距离d=|m|/√(k²+1)=2√5/5
∴点O到直线AB的距离为定值2√5/5
（2）
k不存在时,|OA|*|OB|=8/5
k存在时,
根据面积公式：
|OA|*|OB|=|AB|*d
|AB|=4/√5
=√（k²+1)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(k²+1)√[64k²m²/(4k²+1)²-16(m²-1)/(4k²+1)]
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1+4k²-m²)
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1/5+16/5k²)
=4/√5*√[(16k⁴+17k²+1)/(4k²+1)²]
=4/√5*√[1+9k²/(4k²+1)²]
∴k=0时,|AB|取得最小值4/√5
∴|OA|*|OB|=|AB|*d≥4/√5*2√5/5=8/5
即|OA|*|OB|的最小值为8/5
设l:x=t,代入椭圆C:x^2/4+y^2=1
得：t²/4+y²=1,y²=1-t²/4
∵向量OA*向量OB=0
∴t²=1-t²/4,t²=4/5,|t|=2√5/5
即O到l的距离为2√5/5
当直线l有斜率时,
设l:y=kx+m代入椭圆C:x^2/4+y^2=1
x²/4+(kx+m)²=1
即(4k²+1)x²+8kmx+4m²-4=0
Δ=64k²m²-16(4k²+1)(m²-1)>0
==> 1+4k²>m²
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1+x2=-8km/(4k²+1),x1x2=4(m²-1)/(4k²+1)
∵向量OA*向量OB=0
∴x1x2+y1y2=0
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(k²+1)x1x2+km(x1+x2)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)/(4k²+1)-8k²m²/(4k²+1)+m²=0
∴4(k²+1)(m²-1)-8k²m²+(4k²+1)m²=0
∴ 5m²=4(k²+1) |m|/√(k²+1)=2√5/5
那么O到l的距离d=|m|/√(k²+1)=2√5/5
∴点O到直线AB的距离为定值2√5/5
（2）
k不存在时,|OA|*|OB|=8/5
k存在时,
根据面积公式：
|OA|*|OB|=|AB|*d
|AB|=4/√5
=√（k²+1)√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(k²+1)√[64k²m²/(4k²+1)²-16(m²-1)/(4k²+1)]
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1+4k²-m²)
=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1/5+16/5k²)
=4/√5*√[(16k⁴+17k²+1)/(4k²+1)²]
=4/√5*√[1+9k²/(4k²+1)²]
∴k=0时,|AB|取得最小值4/√5
∴|OA|*|OB|=|AB|*d≥4/√5*2√5/5=8/5
即|OA|*|OB|的最小值为8/5
已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,向量OA*向量OB=0(O为坐标原点),问：
已知椭圆C,x∧2/4+y²=1,直线L于椭圆C相交于A,B两点,OA向量×OB向量=0,
给定抛物线C：y^2=4x,F是C的焦点,过点F的直线L与C相交于A,B两点,记O为坐标原点.求1、OA向量*OB向量的
已知椭圆C的中心为坐标原点O,焦点在X轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A,B两点,向量OA+OB与向量a=(
给定抛物线,C:y^2=4x,F是C的焦点,过点F的直线L与C相交于A,B两点,记O为坐标原点,求向量OA乘以向量OB的
已知直线m:y=kx+b与椭圆X的平方/2＋y2=1相交于A,B两点,O为原点.若OA向量丄OB向量,求直线m与以原点为
如图,已知直线L:y=kx-2与抛物线C:x^2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA向量+OB向量=(
直线kx-y+1=0与圆x^2+y^2=4相交于A,B两点,若点M在圆上且有向量OM=向量oa+向量ob（o为坐标原点）
已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向
已知抛物线C:y^2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.（1）设l的斜率为1,求向量OA和向量OB
已知椭圆中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A,B两点.向量OA+向量OB与向量a(3,
斜率为2的直线与椭圆x^2/4+y^2=1交于两点A,B,求|OA||OB|范围（O为坐标原点）