一道线性代数题设A为正定矩阵,证明：A^k 也是正定矩阵(k为正整数)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 03:10:51

一道线性代数题设A为正定矩阵,证明：A^k 也是正定矩阵(k为正整数)
一道线性代数题
设A为正定矩阵,证明：A^k 也是正定矩阵(k为正整数)

若A为正定矩阵的充要条件是A可以分解为可逆矩阵P的转置与P的乘积,也就是说A=P'P
我们看充分性,A‘=（P'P）’=P‘P,所以A对称.对称矩阵A=P'IP,所以
A和I合同,这也就是说A正定.必要性,由于A正定,A=P'IP,也就是A和I合同（P可逆）
现在A^k= (P'P)(P'P)……(P'P)可以拆成可逆矩阵和他的转置的乘积,无论k奇数还是偶数,这样就证明了A^k正定
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再问：后面现在A^k ...那段没太看明白，能稍微解释一下吗？
再答：亲答题不易纯手打先采纳吧~
再问：亲做题不易先解释一下吧

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一道线性代数题 设A为正定矩阵,证明：A^k 也是正定矩阵(k为正整数)

一道线性代数题设A为正定矩阵,证明：A^k 也是正定矩阵(k为正整数)