设A正定矩阵,证明A^m为正定矩阵.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 05:03:41

设A正定矩阵,证明A^m为正定矩阵.

1、当m为偶数时,A^m=[A^(m/2)]'[A^(m/2)]为正定阵
2、当m为奇数时,A^m=A^((m-1/)2)AA^((m-1)/2)=[A^((m-1/)2)]'AA^((m-1)/2)=B'AB
其中B=A^((m-1/)2)为可逆对称阵,故A与A^m合同,故A^m为正定阵
总之A^m为正定阵
再问：为什么，可以解释的清楚一点吗？为什么A^m=[A^(m/2)]'[A^(m/2)]成立。。。
再答： ①首先当存在可逆矩阵C使得A=C'C时A为正定阵这个你知道吧？这是判定正定阵的一种非常重要的方法啊。 ②其次A^k为对称阵这个你懂吧？所以A^(m/2)也为对称阵，记为C，则 A^m=A^(m/2)A^(m/2)=[A^(m/2)]'[A^(m/2)]=C'C为正定阵。建议你再看看书温习一遍定义，定义是学懂的基础，定理自己再证明一遍。

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