作业帮线性代数向量组α1，α2，...αs线性相关的充要条件是有αi(i=1,2,3…s)可用其余s-1个向量线性表出。请高手
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/05 20:22:06
线性代数
向量组α1，α2，...αs线性相关的充要条件是有αi(i=1,2,3…s)可用其余s-1个向量线性表出。请高手给证明一下，寻思不懂呢，是不是得任意一个都能由s-1个向量线性表出，这结论才对啊。
向量组α1，α2，...αs线性相关的充要条件是有αi(i=1,2,3…s)可用其余s-1个向量线性表出。请高手给证明一下，寻思不懂呢，是不是得任意一个都能由s-1个向量线性表出，这结论才对啊。
不是的，只要存在一个ai可以由其他s-1个线性表出就可以了
证明不难：
因为向量组α1，α2，...αs线性相关的充要条件是
存在a1,a2,……,as共s个非零的数属于给定的属于F，使得
a1*α1+a2*α2+……+as*αs=0
则可以断定，这s个数至少有一个非零，不妨设ai≠0
那么，
ai*αi=-a1*α1-…-a(i-1)*α(i-1)-a(i+1)*α(i+1)…-as*αs
那么，两端同时除以ai，并改写，即得
αi=b1*α1+…+b(i-1)*α(i-1)+b(i+1)*α(i+1)…+bs*αs
而证明时用到的是等价说法，故证毕
有不懂欢迎追问
证明不难：
因为向量组α1，α2，...αs线性相关的充要条件是
存在a1,a2,……,as共s个非零的数属于给定的属于F，使得
a1*α1+a2*α2+……+as*αs=0
则可以断定，这s个数至少有一个非零，不妨设ai≠0
那么，
ai*αi=-a1*α1-…-a(i-1)*α(i-1)-a(i+1)*α(i+1)…-as*αs
那么，两端同时除以ai，并改写，即得
αi=b1*α1+…+b(i-1)*α(i-1)+b(i+1)*α(i+1)…+bs*αs
而证明时用到的是等价说法，故证毕
有不懂欢迎追问
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