用换元法和分部积分法解积分∫x (lnx)^2 dx

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 12:47:38

∫ x(lnx)² dx=∫ (lnx)² d(x²/2)
令u=(lnx)² ,v=x²/2,则
du = 2lnx * (1/x) dx
由分部积分公式∫u dv = uv - ∫v du
∫ x(lnx)² dx=∫ (lnx)² d(x²/2)
=(x²/2)(lnx)² - ∫(x²/2) * 2lnx * (1/x) dx
=(x²/2)(lnx)² - ∫x lnx dx
=(x²/2)(lnx)² - ∫ lnx d(x²/2)
=(x²/2)(lnx)² - [(x²/2) * lnx - ∫(x²/2) * (1/x) dx]
=(x²/2)(lnx)² - [(x²/2) * lnx - ∫(x/2) dx]
=(x²/2)(lnx)² - [(x²/2) * lnx - x²/4 ) + C
=(x²/4)*[2(lnx)²-2lnx+1]+C

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