如图(1),在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连结DP交AC于点Q.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 15:05:24

如图(1),在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向B运动,连结DP交AC于点Q.
（2）当点P在AB上运动到什么位置时,三角形ADQ的面积是正方形ABCD面积的六分之一；
（3）若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运动过程中,当点P运动到什么位置时,三角形ADQ恰为等腰三角形.

证明：
（2）解法一：△ADQ的面积恰好是正方形ABCD面积的 16时,
过点Q作QE⊥AD于E,QF⊥AB于F,则QE=QF,
12AD×QE= 16S正方形ABCD= 16×16= 83,
∴QE= 43,
由△DEQ∽△DAP得 QEAP=DEDA,即 43AP= 4-434,
解得AP=2,
∴AP=2时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 16；
解法二：以A为原点建立如图所示的直角坐标系,过点Q作QE⊥y轴于点E,QF⊥x轴于点F．
12AD×QE= 16S正方形ABCD= 16×16= 83,
∴QE= 43,
∵点Q在正方形对角线AC上,
∴Q点的坐标为（ 43,43）,
∴过点D（0,4）,Q（ 43,43）两点的函数关系式为：y=-2x+4,
当y=0时,x=2,
∴P点的坐标为（2,0）,
∴AP=2时,△ADQ的面积是正方形ABCD面积的 16；
（3）若△ADQ是等腰三角形,则有QD=QA或DA=DQ或AQ=AD,
①当AD=DQ时,则∠DQA=∠DAQ=45°
∴∠ADQ=90°,P为C点,
②当AQ=DQ时,则∠DAQ=∠ADQ=45°,
∴∠AQD=90°,P为B,
③AD=AQ（P在BC上）,
∴CQ=AC-AQ=√2BC-BC=（ 2-1）BC
∵AD∥BC
∴ CPCQ= AQAD=1,
∴CP=CQ=（ 2-1）BC=4（ 2-1）
综上,P在B点,C点,或在CP=4（ 2-1）处,△ADQ是等腰三角形．