已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求y=f(x2-2)的值域.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 10:11:21
已知函数f(x)是二次函数,且满足f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求y=f(x2-2)的值域.
设函数f(x)=ax2+bx+c
∵f(0)=0,所以c=0,
即f(x)=ax2+bx,
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+2ax+a+bx+b=f(x)+x+1=ax2+bx+x+1,
消去相同项得2ax+a+b=x+1
即2a=1,a+b=1,
解得a=b=
1
2,
∴f(x)=
1
2x2+
1
2x=
1
2(x+
1
2)2−
1
8,该函数在(-∞,-
1
2)上递减,在[−
1
2,+∞)上递增,
对于函数求y=f(x2-2),令t=x2-2≥-2,所以要求函数y=f(x2-2)值域,即求函数y=f(t)在[-2,+∞)上的值域,
所以f(t)≥f(−
1
2)=-
1
8,
所以函数y=f(x2-2)的值域为[-
1
8,+∞).
∵f(0)=0,所以c=0,
即f(x)=ax2+bx,
f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)=ax2+2ax+a+bx+b=f(x)+x+1=ax2+bx+x+1,
消去相同项得2ax+a+b=x+1
即2a=1,a+b=1,
解得a=b=
1
2,
∴f(x)=
1
2x2+
1
2x=
1
2(x+
1
2)2−
1
8,该函数在(-∞,-
1
2)上递减,在[−
1
2,+∞)上递增,
对于函数求y=f(x2-2),令t=x2-2≥-2,所以要求函数y=f(x2-2)值域,即求函数y=f(t)在[-2,+∞)上的值域,
所以f(t)≥f(−
1
2)=-
1
8,
所以函数y=f(x2-2)的值域为[-
1
8,+∞).
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