导数的运算已知曲线C1:y=x²与C2:y=-(x-2)²,直线l与C1、C2都相切直线l方程.问当

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 16:26:33

导数的运算
已知曲线C1:y=x²与C2:y=-(x-2)²,直线l与C1、C2都相切直线l方程.
问当a为何值时,直线y=x与对数函数y=logaX的图像相切,并求切点及切线方程.

1.设该直线l:y=kx+b （斜率存在时）
有直线l与C1、C2都相切
则y=x²与y=kx+b只有一组解,即x²-kx-b=0只有一解,故k²+4b=0
又y=-(x-2)²与y=kx+b只有一组解,即(x-2)²+kx+b=0只有一解,故（k-4)²-4(b-4)=0
将k²+4b=0带入其中求解得：k²-4k+16=0 无解故此时不存在直线l
当直线L斜率不存在时,设直线l:y=m,作图易知m=0是满足条件.
故与C1、C2都相切的直线l：y=0
2.设所求切点为点M(H,logaH),
则过点M的函数y=logaX的切线方程为：y=y（H）'(x-H)+logaH=1/(Hln a)(x-H)+logaH =x （对于任意x成立）
解得：H=e ,a=e^(1/e)
则切点M（e,e）
对数函数为y=elnx过其图像上任意点（x0,elnx0）的切线方程为：y=e/x0 (x-x0)+elnx0 即：y=ex/x0+e(lnx0 -1)
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