度量空间中,紧集等价于自列紧集,但为什么一般的拓扑空间中不对?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 05:09:15

你这个问题要回答的话是很复杂的.
首先我们需要回顾一下拓扑学序列的定义（因为度量空间的序列定义还不够一般）
设X是一个拓扑空间,每一个s: Z+(正整数集) 到 x的映射叫做 X的序列记做{x1,x2,x3 ...}
设{x1,x2,x3...}是X空间的一个序列 , 而a 属于 X集合 ,如果对于a的每一个邻域U, 存在M 属于 Z+ 使得当所有 i > M 有 xi 属于 U ,就叫a是序列的极限点, 如果序列至少有一个一个极限点,我们称这个序列收敛.
子序列你应该能够自己定义出来 ,（我就不打了）
这样我们来解答问题吧还记得R（实直线）上的余有限拓扑这是一个很好又很简单的例子
余有限拓扑定义的闭集只有空集 R 和有限个点的集合这样我们看到在这个拓扑下所有R的子集都是紧集这一点很明显希望你自己证明这样{1 / n} (n 属于 Z+) 这个集合自然是紧集仔细看上面的定义在这个拓扑下 R上所有的点都是这个序列的极限点但是它们很多都不属于这个序列本身自然这个序列构成集是紧集而不是自列紧集. 至于自列紧集不是紧集较直接的方法是构造一个满足第一可数的 T1 空间而且不是lindelof的拓扑空间（不过一般举例是会出现不可数序数的汗我想了下没找到简单的例子）这种空间自身是子列紧的但他连lindelof空间都不是自然也不是紧空间
综上所述这两个概念在一般的空间中是互不包含,一般都会加上好的分离性公理或者可数性公理逼其就范.比如加上A2公理 T1公理
总之点集拓扑学有很多反例的如果还有什么我们一起讨论交流一下

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