作业帮线性代数,对称矩阵的证明题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 04:24:52
线性代数,对称矩阵的证明题
如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵
答案是这样的,有点不懂的地方：
因为A^3=En
所以A的特征值一定是x^3=1的实根
（1.是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0?）
所以λ1=λ2=λ3=1
A相似于单位矩阵必有A=En
（2.我觉得因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P'*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,λ只是一个特征值,那么就能相似于En吗?相似的对角阵不是应该也是n阶吗,应该有n个特征值啊!）
如果n阶实对称矩阵A满足A^3=En,证明：A一定是单位矩阵
答案是这样的,有点不懂的地方：
因为A^3=En
所以A的特征值一定是x^3=1的实根
（1.是不是因为对应的多项式为f（x）=x^3-1,所以,f(λ)=λ^3-1=0?）
所以λ1=λ2=λ3=1
A相似于单位矩阵必有A=En
（2.我觉得因为A是对称矩阵所以必有正交阵P,使得P^-1*A*P=P'*A*P=∧,∧的对角元为1,1,1,所以相似于E,可是方阵是n阶,λ只是一个特征值,那么就能相似于En吗?相似的对角阵不是应该也是n阶吗,应该有n个特征值啊!）
第一问：
因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵P
P'AP=∧ ∧是A的特征值构成的对角阵
A=P∧P'
A^3=P∧^3P'=E
所以∧^3=E
所以λ1^3.λn^3都等于1
所以λ1=λ2=..=λn=1
第二问：因为有n个特征值,且实对称阵必能相似于对角阵(书上的定理)
所以A相似于这n个特征值构成的对角阵
P'*A*P=E
所以 A=PEP'=PP'=E
刚才看错题目了,如果还有什么不明白可以发信给我,给你详细讲解
因为A是实对称矩阵,所以存在正交矩阵P
P'AP=∧ ∧是A的特征值构成的对角阵
A=P∧P'
A^3=P∧^3P'=E
所以∧^3=E
所以λ1^3.λn^3都等于1
所以λ1=λ2=..=λn=1
第二问：因为有n个特征值,且实对称阵必能相似于对角阵(书上的定理)
所以A相似于这n个特征值构成的对角阵
P'*A*P=E
所以 A=PEP'=PP'=E
刚才看错题目了,如果还有什么不明白可以发信给我,给你详细讲解