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求证几何题以下命题;G为三角形ABC内任意一点,D,E,F为AC,AB,BC上的点,DG//BC,EG//AC,GF//

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/22 05:13:38
求证几何题
以下命题;
G为三角形ABC内任意一点,D,E,F为AC,AB,BC上的点,DG//BC,EG//AC,GF//AB,
则三角形ABC为等边三角形充要条件为AB=DG+EG+FG
这个命题是否成立?如成立请证明,不成立说明理由.
另外用解析几何方法如何证明(证否)?
延长DG交AB于H,则只要三角形ABC为等边三角形,AB=DG+EG+FG就成立
如果AB=DG+EG+FG,则EG/sinB=EH/sinC,DG/sinA=AE/sinC
则EG+DG=(EHsinB+AEsinA)/sinC=EHsinB/sin(A+B)+AEsinA/sin(A+B)=EH+AE
设A=kB,当k=1,则1/(2cosA)=1,A=B=60度,则三角形ABC为等边三角形
当k不等于1,则AE/EH=[sin(A+B)-sinB]/[sinA-sin(A+B)]>0
所以sinA>sin(A+B)>sinB或者sinAsinB,可以取A=90度+a,a