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如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BD⊥AC于D点,E为BC上一点,EF⊥AC于F点,EG⊥AB于G点.求证:BD

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 20:28:38
如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,BD⊥AC于D点,E为BC上一点,EF⊥AC于F点,EG⊥AB于G点.求证:BD=EF+EG
证明:
连接AE
∵S⊿ABE =½AB×EG
S⊿ACE=½AC×EF
AB =AC
∴S⊿ABC=S⊿ABE+S⊿ACE=½AC(EF+EG)
∵S⊿ABC=½AC×BD
∴BD=EF+EG
证法2
作EH⊥BD于H
∵BD⊥AC,EF⊥AC
∴四边形EFDH是矩形
∴EF=DH,EH//AC
∴∠C =∠HEB
∵AB =AC
∴∠GBE=∠C=∠HEB
又∵∠BGE=∠EHB=90º,BE=EB
∴⊿BGE≌⊿EHB(AAS)
∴EG=BH
∴BD=BH+DH=EG+EF