作业帮已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 04:16:46
已知函数f（x）=-x2+8x，g（x）=6lnx+m．
（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
（Ⅰ）求f（x）在区间[t，t+1]上的最大值h（t）；
（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
（I）f（x）=-x2+8x=-（x-4）2+16．
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）2+8（t+1）=-t2+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
h（t）=f（t）=-t2+8t．
综上，h(t)＝
−t2+6t+7，t＜3
16，3≤t≤4
−t2+8t，t＞4
（II）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
即函数m（x）=g（x）-f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=x2-8x+6lnx+m，
∴ϕ′(x)＝2x−8+
6
x＝
2x2−8x+6
x＝
2(x−1)(x−3)
x(x＞0)，
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m'（x）=0．
∴m（x）最大值=m（1）=m-7，m（x）最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
ϕ(x)最大值＝m−7＞0
ϕ(x)最小值＝m+6ln3−15＜0
即7＜m＜15-6ln3．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-6ln3）．
当t+1＜4，即t＜3时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
h（t）=f（t+1）=-（t+1）2+8（t+1）=-t2+6t+7；
当t≤4≤t+1，即3≤t≤4时，h（t）=f（4）=16；
当t＞4时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
h（t）=f（t）=-t2+8t．
综上，h(t)＝
−t2+6t+7，t＜3
16，3≤t≤4
−t2+8t，t＞4
（II）函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，
即函数m（x）=g（x）-f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点．
∵m（x）=x2-8x+6lnx+m，
∴ϕ′(x)＝2x−8+
6
x＝
2x2−8x+6
x＝
2(x−1)(x−3)
x(x＞0)，
当x∈（0，1）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x∈（1，3）时，m'（x）＜0，m（x）是减函数；
当x∈（3，+∞）时，m'（x）＞0，m（x）是增函数；
当x=1，或x=3时，m'（x）=0．
∴m（x）最大值=m（1）=m-7，m（x）最小值=m（3）=m+6ln3-15．
∵当x充分接近0时，m（x）＜0，当x充分大时，m（x）＞0．
∴要使m（x）的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
ϕ(x)最大值＝m−7＞0
ϕ(x)最小值＝m+6ln3−15＜0
即7＜m＜15-6ln3．
∴存在实数m，使得函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15-6ln3）．