作业帮已知函数f（x）=x2+lnx．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 12:05:06
已知函数f（x）=x2+lnx．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=
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（1）∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+
1
x，
∵x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=
1
2x2-
2
3x3+lnx，
则F′（x）=x-2x2+
1
x=
x2−2x3+1
x=
x2−x3−x3+1
x=
(1−x)(2x2+x+1)
x，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴F（x）＜F（1）=
1
2−
2
3=-
1
6＜0，即f（x）＜g（x），
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．
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x，
∵x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；
（2）证明：令F（x）=f（x）-g（x）=
1
2x2-
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3x3+lnx，
则F′（x）=x-2x2+
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x=
x2−2x3+1
x=
x2−x3−x3+1
x=
(1−x)(2x2+x+1)
x，
∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，
∴F（x）＜F（1）=
1
2−
2
3=-
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6＜0，即f（x）＜g（x），
∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．