（2014•天津模拟）已知函数f（x）=x3-3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/22 10:08:04

（2014•天津模拟）已知函数f（x）=x³-3ax²+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a∈[

（Ⅰ）f'（x）=3x²-6ax=3x（x-2a），令f'（x）=0，则x₁=0，x₂=2a，
（1）当a＞0时，0＜2a，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，0） 0 （0，2a） 2a （2a，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴函数f（x）在区间（-∞，0）和（2a，+∞）内是增函数，在区间（0，2a）内是减函数．
（2）当a＜0时，2a＜0，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x （-∞，2a） 2a （2a，0） 0 （0，+∞）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴函数f（x）在区间（-∞，2a）和（0，+∞）内是增函数，在区间（2a，0）内是减函数．
（Ⅱ）由
1
2≤a≤
3
4及（Ⅰ），f（x）在[1，2a]内是减函数，在[2a，2]内是增函数，
又f（2）-f（1）=（8-12a+b）-（1-3a+b）=7-9a＞0，
∴M=f（2），m=f（2a）=8a³-12a³+b=b-4a³，
∴M-m=（8-12a+b）-（b-4a³）=4a³-12a+8，
设 g（a）=4a³-12a+8，
∴g'（a）=12a²-12=12（a+1）（a-1）＜0（a∈[
1
2，
3
4]），
∴g（a）在[
1
2，
3
4]内是减函数，
故 g（a）_max=g（
1
2）=2+
1
2=
5
2，g（a）_min=g（
3
4）=-1+4×
33
42=
11
16．
∴
11
16≤M-m≤
5
2．

（2014•天津模拟）已知函数f（x）=x3-3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R．（2014•海淀区二模）已知函数f（x）=13x3+ax2+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．已知函数f（x）=-x3+ax2+b（a、b∈R）．已知函数f(x)=13x3-ax2+bx．（a，b∈R）（2011•重庆模拟）已知函数f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．（2010•抚州模拟）已知：函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．已知函数f（x）=x3-ax2+3x，a∈R．已知函数f（x）=x3-ax2-3x，a∈R．已知f（x）=x3-3ax2+b（x∈R），其中a≠0，b∈R。 I.求f（x）的单调区间： ii.设a∈[1/2,3/ 已知函数f（x）=x3-2ax2-3x，x∈R．已知函数f(x)＝13x3+12ax2+bx，a，b∈R，f'（x）是函数f（x）的导函数．设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a,g（x）=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f（x）与y=