设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 07:54:56
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;
(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.
(I) 求a、b的值,并写出切线l的方程;
(II)若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2,其中x1<x2,且对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,求实数m的取值范围.
(I) f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x-3.
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
由此得 {8+8a+2b+a=012+8a+b=1,解得 {a=-2b=5,
所以a=-2,b=5..切线的方程为x-y-2=0.
(II)由(I)得f(x)=x3-4x2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.
依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2,
故x1,x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根.
所以△=9-4(2-m)>0,解得m>- 14.
又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1-1)成立,得m<0.
由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0.故0<x1<x2.
对任意的x∈[x1,x2],x-x2≤0,x-x1≥0,x>0.
则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,又f(x1)+g(x1)-mx1=0.
所以f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.
于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
综上得:实数m的取值范围是(- 14,0).
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线l.
故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
由此得 {8+8a+2b+a=012+8a+b=1,解得 {a=-2b=5,
所以a=-2,b=5..切线的方程为x-y-2=0.
(II)由(I)得f(x)=x3-4x2+5x-2,所以f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.
依题意,方程x(x2-3x+2-m)=0,有三个互不相等的实根0,x1,x2,
故x1,x2是x2-3x+2-m=0的两相异实根.
所以△=9-4(2-m)>0,解得m>- 14.
又对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
特别地取x=x1时,f(x1)+g(x1)<m(x1-1)成立,得m<0.
由韦达定理得x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0.故0<x1<x2.
对任意的x∈[x1,x2],x-x2≤0,x-x1≥0,x>0.
则f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0,又f(x1)+g(x1)-mx1=0.
所以f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]上的最大值为0.
于是当m<0,对任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒成立,
综上得:实数m的取值范围是(- 14,0).
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f(x)与y=
已知函数f(x)=x3-2ax2 +bx,x属于R,a,b为常数,g(x)=-2x2+4 x.若曲线y =f (x )与
设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2
已知函数f(x)=x3-3ax2-bx,其中a,b为实数,
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(其中a,b,c为常数),若y=f(x)在x=-1和x=−13
已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中a、b为常数属于R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数
已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=ax2-6x+2 其中x∈R a,b为常数,则方程f(ax+b)=0的解集
已知函数f(x)=13x3-ax2+bx.(a,b∈R)
已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x∈R,a、b为常数,求方程f(ax+b)=0的解集
已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,求f(x)的表达
已知函数f(x)=13x3−2x2+ax(a∈R,x∈R)在曲线y=f(x)的所有切线中,有且仅有一条切线l与直线y=x
已知函数f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中x属于R,a,b为常数,则方程f(ax+b)的解集为