作业帮高中数学,直线与圆锥曲线的
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 15:42:31
高中数学,直线与圆锥曲线的
经过q(1,m)作直线l交双曲线x2-y2=1于p1、p2两点,是否存在正实数m,使p1p2中点M在一条直线上
经过q(1,m)作直线l交双曲线x2-y2=1于p1、p2两点,是否存在正实数m,使p1p2中点M在一条直线上
设直线l方程为：y=kx+b
l过q(1,m)点：m=k+b ∴b=m-k
y=kx+m-k
设P1（x1,y1）P2(x2,y2)
直线方程与双曲线方程联立：x^2-(kx+m-k)^2=1
(1-k^2)x^2-2k(m-k)x-(m-k)^2-1=0
由韦达定理：x1+x2=2k(m-k)/(1-k^2)
设M点坐标为（x,y）
x=(x1+x2)/2=k(m-k)/(1-k^2) ∴ m=k+x(1-k^2)/k (1)
y=(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+m-k=(m-k)(k^2+1-k^2)/(1-k^2)=(m-k)/(1-k^2)
将（1）代入上式：y=x/k
将k=x/y代入（1）式：x^2-y^2=x-my
所以当m=1时,M在直线x+y=1上
l过q(1,m)点：m=k+b ∴b=m-k
y=kx+m-k
设P1（x1,y1）P2(x2,y2)
直线方程与双曲线方程联立：x^2-(kx+m-k)^2=1
(1-k^2)x^2-2k(m-k)x-(m-k)^2-1=0
由韦达定理：x1+x2=2k(m-k)/(1-k^2)
设M点坐标为（x,y）
x=(x1+x2)/2=k(m-k)/(1-k^2) ∴ m=k+x(1-k^2)/k (1)
y=(y1+y2)/2=k(x1+x2)/2+m-k=(m-k)(k^2+1-k^2)/(1-k^2)=(m-k)/(1-k^2)
将（1）代入上式：y=x/k
将k=x/y代入（1）式：x^2-y^2=x-my
所以当m=1时,M在直线x+y=1上