作业帮有关抽象代数里的一个同态定理的证明上的疑问
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 13:30:46
有关抽象代数里的一个同态定理的证明上的疑问
是Joseph J.Rotman著《抽象代数基础教程(原书第3版)》里定理2.122（第三同构定理）的证明上的疑问：
若H和K都是群G的正规子群,K≤H(K是H的子群),则H/K是G/K的正规子群,且
(G/K)/(H/K)≌G/H（同构）
证明：定义函数f:G/K→G/H,aK到aH是一个同构,f是一个(定义良好的)函数,因为若a'∈G和a'K=aK,则
a-1a‘∈K≤H,所以aH=a’H(这里搞不懂,因为K是H的子群,如果a'K=aK,如何得到aH=a’H?)
是Joseph J.Rotman著《抽象代数基础教程(原书第3版)》里定理2.122（第三同构定理）的证明上的疑问：
若H和K都是群G的正规子群,K≤H(K是H的子群),则H/K是G/K的正规子群,且
(G/K)/(H/K)≌G/H（同构）
证明：定义函数f:G/K→G/H,aK到aH是一个同构,f是一个(定义良好的)函数,因为若a'∈G和a'K=aK,则
a-1a‘∈K≤H,所以aH=a’H(这里搞不懂,因为K是H的子群,如果a'K=aK,如何得到aH=a’H?)
定理：设H是G的子群,a,b∈G则aH=bH的充要条件是a-1b∈H
证明：充分性,设a-1b=h(h属于H),则b=ah,所以bH=ahH=aH
必要性,因为aH=bH,所以对h属于H,必存在h1属于H使ah=bh1,a-1b=hh1^-1属于H
证毕!
再问： 不好意思，家里老人生病耽误了半年，你的证明好像有问题哦
我要求的是，如果已知a'K=aK，如何证明aH=a’H？你是依据H是G的子群来证明的？
再答： 因为K是G的子群，由aK=a'K得a-1a'属于K从而属于H，所以aH=a'H
再问： 多谢，昨天我也得出同样证明方法，哈哈，感觉抽象代数也没那么难了
证明：充分性,设a-1b=h(h属于H),则b=ah,所以bH=ahH=aH
必要性,因为aH=bH,所以对h属于H,必存在h1属于H使ah=bh1,a-1b=hh1^-1属于H
证毕!
再问： 不好意思，家里老人生病耽误了半年，你的证明好像有问题哦
我要求的是，如果已知a'K=aK，如何证明aH=a’H？你是依据H是G的子群来证明的？
再答： 因为K是G的子群，由aK=a'K得a-1a'属于K从而属于H，所以aH=a'H
再问： 多谢，昨天我也得出同样证明方法，哈哈，感觉抽象代数也没那么难了