作业帮抽象代数定理：设M是一个有代数运算的集合,则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 08:54:47
抽象代数定理：设M是一个有代数运算的集合,则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群.
证：设是M的任意两个自同构,则对M中任二元素a,b有
δτ(ab) =δ [τ(ab)] =δ [τ(a)τ(b)]=δτ(a).δτ(b),
即乘积 也是M的一个自同构.
又因对M中任意元素x有 δ(δ^(-1)(x))=(δ^(-1)δ)(x)=x
故
δ^(-1)(ab) =δ^(-1)[δδ^(-1)(a)δδ^(-1)(b)] =δ^(-1) [δ(δ^(-1)(a)δ^(-1)(b)] = δ^(-1)(a)δ^(-1)(b),
即也是M的自同构.因此,M的全体自同构作成M上的对称群S(M).
（证毕）
怎么理解“ 也是M的一个自同构.” Thank you!
证：设是M的任意两个自同构,则对M中任二元素a,b有
δτ(ab) =δ [τ(ab)] =δ [τ(a)τ(b)]=δτ(a).δτ(b),
即乘积 也是M的一个自同构.
又因对M中任意元素x有 δ(δ^(-1)(x))=(δ^(-1)δ)(x)=x
故
δ^(-1)(ab) =δ^(-1)[δδ^(-1)(a)δδ^(-1)(b)] =δ^(-1) [δ(δ^(-1)(a)δ^(-1)(b)] = δ^(-1)(a)δ^(-1)(b),
即也是M的自同构.因此,M的全体自同构作成M上的对称群S(M).
（证毕）
怎么理解“ 也是M的一个自同构.” Thank you!
要证u是M的一个自同构 只要证
A:u:M->M 是双射
B:u(a)u(b)=u(ab)
由于两个双射的复合和双射的逆都是双射 故A是显然的
题中详细证的是B
证明了δτ(ab)=δτ(a).δτ(b) 就可以说δτ是M的一个自同构
证明了δ^(-1)(ab)= δ^(-1)(a)δ^(-1)(b) 就可以说δ^(-1)是M的一个自同构
所以说“也是M的一个自同构”
再问： 我就是想知：为什么可以由δτ(ab)=δτ(a).δτ(b) 推出δτ是M的一个自同构。
A:u:M->M 是双射
B:u(a)u(b)=u(ab)
由于两个双射的复合和双射的逆都是双射 故A是显然的
题中详细证的是B
证明了δτ(ab)=δτ(a).δτ(b) 就可以说δτ是M的一个自同构
证明了δ^(-1)(ab)= δ^(-1)(a)δ^(-1)(b) 就可以说δ^(-1)是M的一个自同构
所以说“也是M的一个自同构”
再问： 我就是想知：为什么可以由δτ(ab)=δτ(a).δτ(b) 推出δτ是M的一个自同构。
抽象代数定理：设M是一个有代数运算的集合,则M的全体自同构关于变换的乘法作成一个群.
抽象代数的题目设|M|>1,证明：集合M的全体非双射变换关于变换的乘法不能作成群.
抽象代数问题设│M│﹥1,证明：集合M的全体非双射变换关于变换的乘法不能做成群.
近世代数：设|M|>1,证明：集合M的全体非双射变换关于变换的乘法不能作成群
抽象代数:一个自同构的问题,
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