（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/11 00:15:21

（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．

（1）∵该抛物线过点C（0，2），
∴可设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+2．
将A（-1，0），B（4，0）代入，
得

a−b+2＝0
16a+4b+2＝0，
解得

a＝−
1
2
b＝
3
2，
∴抛物线的解析式为：y=-
1
2x²+
3
2x+2．

（2）存在．
由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=
22+42=2
5．
在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则
1
2×2
5h=
1
2×2×4，
∴h=
4
5
5．
∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），
∴
AB
BC=
|y|

4
5
5，
∴y=±2
将y=2代入抛物线y=-
1
2x²+
3
2x+2，
得x₁=0，x₂=3．
当y=-2时，不合题意舍去．
∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

（3）如图2，连结AC，作DE⊥x轴于点E，作BF⊥AD于点F，

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°．
设BC的解析式为y=kx+b，由图象，得

2＝b
0＝4k+b，
∴

k＝−
1
2
b＝2，
y_BC=-
1
2x+2．
由BC∥AD，设AD的解析式为y=-
1
2x+n，由图象，得
0=-
1
2×（-1）+n
∴n=-
1
2，
y_AD=-
1
2x-
1
2．
∴-
1
2x²+
3
2x+2=-
1
2x-
1
2，
解得：x₁=-1，x₂=5
∴D（-1，0）与A重合，舍去；
∴D（5，-3）．
∵DE⊥x轴，
∴DE=3，OE=5．
由勾股定理，得BD=
10．
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2．
∴AB=5
在Rt△AOC中，Rt△BOC中，由勾股定理，得
AC=
5，BC=2
5，
∴AC²=5，BC²=20，AB²=25，
∴AC²+BC²=AB²
∴△ACB是直角三角形，
∴∠ACB=90°．
∵BC∥AD，
∴∠CAF+∠ACB=180°，
∴∠CAF=90°．
∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF=
5，
在Rt△BFD中，由勾股定理，
得DF=
5，
∴DF=BF，
∴∠ADB=45°．

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