（2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/10 07:00:19

（2013•广安）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0），
∴

9a−3b+c＝0
c＝3
a+b+c＝0，
解得

a＝−1
b＝−2
c＝3，
所以，抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）①∵A（-3，0），B（0，3），
∴OA=OB=3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO=45°，
∵PF⊥x轴，
∴∠AEF=90°-45°=45°，
又∵PD⊥AB，
∴△PDE是等腰直角三角形，
∴PD越大，△PDE的周长越大，
易得直线AB的解析式为y=x+3，
设与AB平行的直线解析式为y=x+m，
联立

y＝x+m
y＝−x2−2x+3，
消掉y得，x²+3x+m-3=0，
当△=3²-4×1×（m-3）=0，
即m=
21
4时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，
此时x=-
3
2，y=-
3
2+
21
4=
15
4，
∴点P（-
3
2，