设函数f(x)=(a/2)x^2(a≠0),g(x)=x+1/e^x.证明:当a≥1时,不等式(1-(a/2)x^2)e
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 03:52:26
设函数f(x)=(a/2)x^2(a≠0),g(x)=x+1/e^x.证明:当a≥1时,不等式(1-(a/2)x^2)e^x≤x+1.
对任意x属于【0,+∞)恒成立
对任意x属于【0,+∞)恒成立
令y=f(x)+g(x)
即证y≥1 对任意x∈R恒成立(a≥1)
y'=x+2/e^x +ax
y''=x+3/e^x +a>0
所以y'在R上单调增
当x趋向于负无穷时,y'<0
当x趋向于正无穷时,y'>0
所以y'=0有且仅有一解,记为x.
即为x.+2/e^x .+ax.=0 【当x=0时,y'=2>0 所以x.<0】
所以y在(-∞,x.)单调减,在(x.,+∞)单调增
所以y≥x.+1/e^x.+(a/2)x.^2
=x.+2/e^x.+ax.-ax.-1/e^x.+(a/2)x.^2
=-ax.-1/e^x.+(a/2)x.^2
记m(x.)=-ax.-1/e^x.+(a/2)x.^2
m'=ax.+1/e^x.-a<0
所以m单调减
所以m(x.)>m(0)=y(0)=1
所以y≥1
所以原命题得证
大于等于的逻辑意义是大于或等于,这里''=''实际上取不到,但是命题是正确的
PS:不懂再问哈,最近高考结束了,时间挺多
做完这题觉得有点奇怪,a>0貌似就可以做了,maybe我看错了?还是哪边括号什么你没写?
再问: 对不起,我后面少写了对任意x属于[0,+∞)恒成立。你的第一步我没看懂诶,f(x)+g(x)和题目中要证的不同啊。
再答: 同学,你早点讲啊,x≥0的话,就不用求二阶导了呀 直接y'>0 然后x=0时最小有1,于是就证到了 同时除以e^x就得到了。你的g(x)分子不是x+1么? 呃。。如果分子是x的话也一样做,不过f(x).g(x)就没有利用价值了
即证y≥1 对任意x∈R恒成立(a≥1)
y'=x+2/e^x +ax
y''=x+3/e^x +a>0
所以y'在R上单调增
当x趋向于负无穷时,y'<0
当x趋向于正无穷时,y'>0
所以y'=0有且仅有一解,记为x.
即为x.+2/e^x .+ax.=0 【当x=0时,y'=2>0 所以x.<0】
所以y在(-∞,x.)单调减,在(x.,+∞)单调增
所以y≥x.+1/e^x.+(a/2)x.^2
=x.+2/e^x.+ax.-ax.-1/e^x.+(a/2)x.^2
=-ax.-1/e^x.+(a/2)x.^2
记m(x.)=-ax.-1/e^x.+(a/2)x.^2
m'=ax.+1/e^x.-a<0
所以m单调减
所以m(x.)>m(0)=y(0)=1
所以y≥1
所以原命题得证
大于等于的逻辑意义是大于或等于,这里''=''实际上取不到,但是命题是正确的
PS:不懂再问哈,最近高考结束了,时间挺多
做完这题觉得有点奇怪,a>0貌似就可以做了,maybe我看错了?还是哪边括号什么你没写?
再问: 对不起,我后面少写了对任意x属于[0,+∞)恒成立。你的第一步我没看懂诶,f(x)+g(x)和题目中要证的不同啊。
再答: 同学,你早点讲啊,x≥0的话,就不用求二阶导了呀 直接y'>0 然后x=0时最小有1,于是就证到了 同时除以e^x就得到了。你的g(x)分子不是x+1么? 呃。。如果分子是x的话也一样做,不过f(x).g(x)就没有利用价值了
设函数f(x)=(a/2)x^2(a≠0),g(x)=x+1/e^x.证明:当a≥1时,不等式(1-(a/2)x^2)e
高等数学证明不等式设常数a>In2-1,证明:当x>0时,e^x>x^2-2ax+1证明:设f(x)=e^x-(x^2-
设函数f(x)=(ax-1)e^x+(1-a)x+1.1、证明:当a=0,f(x)小于等于0;2、设当x>=0时,f(x
已知函数f(x)=[xe^-x]+(x-2)e^(x-a).(1)当a=2时,证明函数f(x)在R上是增函数
设函数f(x)=e^x-ax-2其导函数为f‘(x)若a=1 k为整数且当x>0时 (x-k)f’(x)+x+1>0 求
设函数f(x)=e^x(2x-1)-ax+a,其中a
设a>0,f(x)=e∧x/a+a/e∧x在R上满足f(-x)=f(x).(1)求a的值;(2)证明f(x)在(0,+∞
设a∈R,函数f(x)=(x-a)/lnx,F(x)=根号x (1)当a=0时,比较f(2e+1)与f(3e)的大小;(
设函数f(x)=x(e^x-1)-ax^2若当x≥o时f(x)≥o,求a的取值范围
设函数f(x)=e^x-1-x-ax^2 若当x>=0时,f(x)>=0,求a的取值范围
设函数f(x)=e^x-ax-2 若a=1 k为整数且当x大于0时 (x-k
已知函数f(x)=(x^2-x-1/a)e^ax(a>0) (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间 (2)若不等式f