（2014•洛阳二模）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/20 20:57:54

（2014•洛阳二模）如图1，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，求点N的坐标；
（4）在（2）与（3）的条件下，请直接写出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

（1）∵抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）
∴将A与B两点坐标代入得：

9a+3b＝0
16a+4b＝4，
解得：

a＝1
b＝−3．
∴抛物线的解析式是y=x²-3x．

（2）设直线OB的解析式为y=k₁x，由点B（4，4），
得：4=4k₁，
解得：k₁=1．
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x²-3x上，
∴可设D（x，x²-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．

（3）∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），
根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，
设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，过点（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=
1
4，
∴直线A′B的解析式是y=
1
4，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即点N在直线A′B上，
∴设点N（n，
1
4n+3），又点N在抛物线y=x²-3x上，
∴
1
4=n²-3n，
解得：n₁=-
3
4，n₂=4（不合题意，舍去）
∴N点的坐标为（-
3
4，
45
16）．

（4）如图，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁，
由（3）可知：N₁ （-
1
4，-
45
16），B₁（4，-4）．
∴O、D、B₁都在直线y=-x上．
过D点做DP₁∥N₁B₁，
∵△P₁OD∽△NOB，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴P₁为O N₁的中点

（2014•洛阳二模）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．（2012•福州）如图1,已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3,0）、B（4,4）两点．（2012•福州）如图1,已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）经过A（3,0）、B（4,4）两点．（（2013•澄江县二模）如图，已知：直线m分别与x轴、y轴相交于A、B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0）、如图1,已知在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2 bx c经过A（-1,0）B（3,0）两点,且（2013•苍梧县二模）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点（2012•深圳二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）交x轴于A、B两点（A点在B点左侧），交y轴于点C．已知（2013•鞍山二模）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，与x轴另一交点为D，与（2013•洛阳二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（-3，3），且与y轴交于点B（0，5），若平移该抛物线（2013•本溪一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），C（3，0）两点．（2014•玉林二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（4，0），B（-2，0）两点，交y轴于点C（0，4）．（2014•威海）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三点．