作业帮一道关于几何与代数中矩阵的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 14:46:03
一道关于几何与代数中矩阵的问题
假设A是方阵,证明 存在唯一的对称矩阵B和反对称矩阵C 使得A＝B＋C
假设A是方阵,证明 存在唯一的对称矩阵B和反对称矩阵C 使得A＝B＋C
存在性:
令B=(A+A')/2, C=(A-A')/2则B,C分别是对称矩阵和反对称矩阵, 且 A=B+C.
唯一性:
设A=B+C, A=B1+C1
其中B,B1是对称矩阵,C,C1是反对称矩阵
则 B+C=B1+C1
所以 B-B1 = C1-C
因为对称矩阵的差仍为对称矩阵, 反对称矩阵的差仍为反对称矩阵
所以 B-B1,C1-C 既是对称矩阵又是反对称矩阵
故 B-B1=0, C1-C=0所以 B1=B, C1=C.
令B=(A+A')/2, C=(A-A')/2则B,C分别是对称矩阵和反对称矩阵, 且 A=B+C.
唯一性:
设A=B+C, A=B1+C1
其中B,B1是对称矩阵,C,C1是反对称矩阵
则 B+C=B1+C1
所以 B-B1 = C1-C
因为对称矩阵的差仍为对称矩阵, 反对称矩阵的差仍为反对称矩阵
所以 B-B1,C1-C 既是对称矩阵又是反对称矩阵
故 B-B1=0, C1-C=0所以 B1=B, C1=C.