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如图,在RT三角形ABC中,点P在斜边AB上移动,PM垂直BC,PN垂直AC,M,N分别为垂足,AC=1,AB=2,则何

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 03:54:39

如图,在RT三角形ABC中,点P在斜边AB上移动,PM垂直BC,PN垂直AC,M,N分别为垂足,AC=1,AB=2,则何时矩形PMCN的面积最大?最大面积是多少?

设PN=X,
∵∠C=90°,∴BC=√(AB^2-AC^2)=√3,
∵PMCN是矩形,∴PN∥BC,
∴ΔAPN∽ΔABC,
∴PN/BC=AN/AC,
X/√3=AN/1,
AN=X/√3=√3X/3,∴CN=1-√3X/3=(3-√3X)/3,
∴S矩形PMCN=PN*CN
=X*(3-√3X)/3
=-√3/3 X^2+X
=-√3/3(X^2-√3)
=-√3/3(X-√3/2)^2+√3/4,
∴当X=√3/2时,此时P为AB的中点,
S最大=√3/4.