已知数列an的前n项和为Sn,且1/S₁+1/S₂+...+1/Sn=n/n+1（n属于N*）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 05:01:53

已知数列an的前n项和为Sn,且1/S₁+1/S₂+...+1/Sn=n/n+1（n属于N*）
1：求S₁、S₂、Sn
2：设bn（n为项数）=（1/2）ˆan（n为项数）,数列bn的前n项和为Tn（n为项数）,若对一切n属于N*均有Tn（n为项数）属于（1/m,m²-6m+16/3）,求实数m取值范围!

1.
n=1时,1/S1=1/(1+1)=1/2 S1=2
n=2时,1/S1+1/S2=1/2 +1/S2=2/3
1/S2=2/3-1/2=1/6 S2=6
n=1时,S1=2
n≥2时,
1/S1+1/S2+...+1/Sn=n/(n+1) (1)
1/S1+1/S2+...+1/S(n-1)=(n-1)/n (2)
(1)-(2)
1/Sn=n/(n+1)-(n-1)/n=[n²-(n+1)(n-1)]/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]=1/(n²+n)
Sn=n²+n
n=1时,S1=1²+1=2,同样满足.
数列{Sn}的通项公式为Sn=n²+n.
2.
n=1时,a1=S1=1+1=2
n≥2时,Sn=n²+n S(n-1)=(n-1)²+(n-1)
an=Sn-S(n-1)=n²+n-(n-1)²-(n-1)=2n
n=1时,a1=2,同样满足
数列{an}的通项公式为an=2n
bn=(1/2)^(an)=(1/2)^(2n)=(1/4)ⁿ
b1=1/4 b(n+1)/bn=[1/4^(n+1)]/(1/4ⁿ)=1/4,为定值.
数列{bn}是以1/4为首项,1/4为公比的等比数列.
Tn=b1+b2+...+bn
=(1/4)×[1-(1/4)ⁿ]/(1-1/4)
=(1/3)(1-1/4ⁿ)
=1/3 -1/(3×4ⁿ)
随n增大,4ⁿ单调递增,3×4ⁿ单调递增,1/(3×4ⁿ)单调递减,1/3-1/(3×4ⁿ)单调递增,当n=1时,1/3 -1/(3×4ⁿ)有最小值1/3 -1/12=1/4,又1/(3×4ⁿ)>0 1/3-1/(3×4ⁿ)

已知数列an的前n项和为Sn,且1/S₁+1/S₂+...+1/Sn=n/n+1（n属于N*）已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且S（n+1）=3Sn+2n(n∈N) 已知数列an的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5（n∈N*）,求数列｛an｝的前n项和Sn,设已知数列 an的前 n项和为Sn=n-5an-85 ,且n属于N* ,(1 高中数列已知数列｛an｝的首项a1=1 前n项和为Sn 且S（n+1）=2Sn+3n+1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,3Sn=5an-A(n-1)+3S(n-1)(n≥2,n属于N*)设bn= 已知数列{an}的首项a1=5,前n项和为Sn,且S(n+1)=2Sn+n+5(n属于正整数) （1）证明数列{an+ 已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,n∈正整数,求数列{Sn}的通项公式,并求出S（n+1）＞S 已知数列an前n项和为Sn,且满足4（n+1)(Sn+1)=(n+2)^2an(n属于正整数）求an 已知数列an的前n项和为Sn,且满足an+2Sn·S(n-1)=0(n≥2),a1=1.5 已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=n^2an-n^2(n-1),且a1=1/2 （1）令bn=n+1/n *S 已知数列{an}的前n项和伟Sn,且a1=1,na（n+1）=（n+2）Sn,n属于N* 求证数列{Sn/n}为等比数列