如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 01:06:02

如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于A、B两点,D为抛物线的顶点,O为坐标原点．若OA、OB（OA＜OB）的长分别是方程x2-4x+3=0的两根,且∠DAB=45°．
（1）求抛物线对应的二次函数解析式；
（2）过点A作AC⊥AD交抛物线于点C,求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下,过点A任作直线l交线段CD于点P,若点C、D到直线l的距离分别记为d1、d2,试求的d1+d2的最大值．
请速答2、3问,不要弄斜率

(1)方程x²-4x+3=0的根为1和3,又OA<OB,则：OA=1,OB=3,即点A为(-1,0),B为(3,0).
设过AB的抛物线解析式为y=a(x+1)(x-3).
∵点D为抛物线的顶点,则DA=DB;又∠DAB=45°.
∴⊿ABD为等腰直角三角形.
作DM⊥AB于M,则:DM=AB/2=2,AM=2,OM=1.即点D为(1,-2),代入y=a(x+1)(x-3).
∴-2=a(1+1)*(1-3), a=0.5.即:y=0.5(x+1)(x-3)=0.5x²-x-1.5;
(2)∵AC⊥AD;∠DAB=45°.
∴∠BAC=45°;作CH⊥X轴于H,则CH=AH.
设OH=m,则：CH=AH=m+1,即点C为(m,m+1).
∴m+1=0.5m²-m-1.5, 解得:m=5或-1.(m=-1舍去）
故点C的坐标为(5,6).
(3)设DE⊥直线L于E,CG⊥直线L于G,则:CG=d1,DE=d2.
作DF垂直CG的延长线于F,则四边形DEGF为矩形,FG=DE,即CF=CG+FG=d1+d2.
点P为线段CD上的点.
∴当直线L垂直CD于P时：点E和G均与点P重合,此时CG+DE=CP+DP=CD.
∴d1+d2的最大值=CD=√(AD²+AC²)=√[(AM²+DM²)+(AH²+CH²)=√(8+72)=4√5.