n为正整数,f(n)为正整数,f(n)为n的增函数.f[f(n)]=2n+1,求证:4/3
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 15:55:21
n为正整数,f(n)为正整数,f(n)为n的增函数.f[f(n)]=2n+1,求证:4/3
首先,对任意正整数m < n,有f(f(m)) = 2m+1 < 2n+1 = f(f(n)).而f为增函数,故f(m) < f(n).
于是f(m) < f(m+1) < f(m+2) 1,否则f(f(1)) = f(1) = 1,矛盾.
于是对1 ≤ n使用①,得f(n) ≥ f(1)+n-1 > n,对任意正整数n成立.
再对n ≤ f(n)使用①,有2n+1 = f(f(n)) ≥ f(n)+f(n)-n = 2f(n)-n,即f(n) ≤ (3n+1)/2 ②.
对n = 1,得f(1) ≤ 2,又f(1) > 1,故f(1) = 2 > 4·1/3.
对n = 2,得f(2) ≤ 7/2,又f(2) > 2为整数,故f(2) = 3 > 4·2/3.
对n > 2,设k = [n/3] (n/3的整数部分),则k为正整数且成立n = 3k或n = 3k+1或n = 3k+2.
将2k代入②,得f(2k) ≤ (6k+1)/2 = 3k+1/2,由f(2k)为整数,有f(2k) ≤ 3k.
对f(2k) ≤ 3k,由单调性得f(3k) ≥ f(f(2k)) = 4k+1 > 4·(3k)/3.
进一步有f(3k+1) ≥ 4k+2 > 4·(3k+1)/3,f(3k+2) ≥ 4k+3 > 4·(3k+2)/3.
即对任意正整数n,f(n) > 4n/3.
另一方面由②得f(n) ≤ (3n+1)/2 ≤ 2n,综合得4/3 < f(n)/n ≤ 2.
于是f(m) < f(m+1) < f(m+2) 1,否则f(f(1)) = f(1) = 1,矛盾.
于是对1 ≤ n使用①,得f(n) ≥ f(1)+n-1 > n,对任意正整数n成立.
再对n ≤ f(n)使用①,有2n+1 = f(f(n)) ≥ f(n)+f(n)-n = 2f(n)-n,即f(n) ≤ (3n+1)/2 ②.
对n = 1,得f(1) ≤ 2,又f(1) > 1,故f(1) = 2 > 4·1/3.
对n = 2,得f(2) ≤ 7/2,又f(2) > 2为整数,故f(2) = 3 > 4·2/3.
对n > 2,设k = [n/3] (n/3的整数部分),则k为正整数且成立n = 3k或n = 3k+1或n = 3k+2.
将2k代入②,得f(2k) ≤ (6k+1)/2 = 3k+1/2,由f(2k)为整数,有f(2k) ≤ 3k.
对f(2k) ≤ 3k,由单调性得f(3k) ≥ f(f(2k)) = 4k+1 > 4·(3k)/3.
进一步有f(3k+1) ≥ 4k+2 > 4·(3k+1)/3,f(3k+2) ≥ 4k+3 > 4·(3k+2)/3.
即对任意正整数n,f(n) > 4n/3.
另一方面由②得f(n) ≤ (3n+1)/2 ≤ 2n,综合得4/3 < f(n)/n ≤ 2.
n为正整数,f(n)为正整数,f(n)为n的增函数.f[f(n)]=2n+1,求证:4/3
设函数f(x)满足f(n+1)=(2f(n)+n)/2 (n为正整数),且f(1)=2,则f(20)=_______
现规定对正整数n的一种运算,其规则为:f(n)=3n+1(n为奇数)2n−1(n为偶数)
设函数f(x)满足f(n+1)=(2f(n)+n)/2 n为正整数,则f(20)为?
已知f(0)=1.f(n)=nf(n-1)(n为正整数),则f(4)=
已知函数f(x)在大于0上是单调增函数,当n为正整数时,f(n)也为正整数,且f[f(n)]=3n,则f(5)等于多少?
定义一个函数f(n),当n为奇数时,f(n)=n;当n为偶数时,若n=r个2×p(r为正整数,p为正奇数),则f(n)=
设定义在N*上的函数f(n)=n(n为奇数);f(n)=f(n/2)(n为偶数),an=f(1)+f(2)+f(3)+·
函数f(x)在x取正整数时为实数,且满足对于任意正整数n,f(-n^2+3n+1)=f^2(n)+2恒成立,是否存在这样
已知函数f(x)=lnx 求证:当i从1到n时,1/i的总和大于ln(1+n) (n为正整数)
函数f(x)对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=1/3,求f(n)(n为正整数)关于n的
已知函数y=f(n),满足f(1)=8,且f(n+1)=f(n)+7,n∈N(正整数集),求f(2),f(3),f(4)