已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√(4a+1)+√(ab+1)+√(4c+1)<k恒成
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 11:56:19
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√(4a+1)+√(ab+1)+√(4c+1)<k恒成立?
如果存在,求出k的范围
我要是知道一楼的那个不等式还做什么,能不能来个人证一下?
如果存在,求出k的范围
我要是知道一楼的那个不等式还做什么,能不能来个人证一下?
柯西不等式的一般证法有以下几种:
■①Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用n维向量来证.
标注:这里的m,n是指代的向量m,向量n
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=|m||n|cos=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)*(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)*cos
因为cos小于等于1,所以:a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式.
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.
■①Cauchy不等式的形式化写法就是:记两列数分别是ai,bi,则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件,就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论.
■②用n维向量来证.
标注:这里的m,n是指代的向量m,向量n
m=(a1,a2.an) n=(b1,b2.bn)
mn=a1b1+a2b2+.+anbn=|m||n|cos=(a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)*(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)*cos
因为cos小于等于1,所以:a1b1+a2b2+.+anbn小于等于a1^2+a2^2+.+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式.
柯西不等式还有很多种,这里只取两种较常用的证法.
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√(4a+1)+√(ab+1)+√(4c+1)<k恒成
已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,是否存在实数k,使得不等式√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)<k恒成
已知a、b、c是正有理数,且a+b+c=1,是否存在实数k,使不等式√4a+1 +√4b+1 +√4c+1<k恒成立?
a+b+c=1,是否存在实数k,使不等式√(4a+1) +√(4b+1)+√(4c+1)
实数a、b、c满足a≤b≤c,且ab+ac+bc=0,abc=1,求最大实数k,使得不等式丨a+b丨≥k丨c丨恒成立
a+b+c=1,是否存在实数K,abc都是正实数,使√4a+1 +√4B+1 +√4c+1小于k恒成立?如存在,求K的范
已知实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1,不等式|a+b|≥k|c|恒成立.则实数k的最大值
均值不等式问题,已知a,b,c属于R,且a/(b+c)=b/(a+c)-c/(a+b),证明b/(a+c)≥(√17-1
问是否存在正整数k,使不等式1/(a-b)+1/(b-c)≥k/(a-c)恒成立?如果存在,求出所有k
实数a,b,c满足:a小于等于b小于等于c,ab+bc+ca+0,abc=1,求最大实数k使得|a+b|大于等于k|c|
已知abc∈R+,a+b+c=1,求使不等式根号下(3a+2)+根号下(3b+c)+根号下(3c+2)<K恒成立的最小K
已知a.b.c为非零的实数,且满足b+a/a=a+b/c=a+c/b=k,则一次函数y=kx+(1+k)的图像一定经过第