已知函数f(x)=x^2+alnx 若g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 02:58:39

已知函数f(x)=x^2+alnx 若g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
2.是要分情况讨论对吗,那“假设g（x）是增函数时,
g'(x)=2x+(a/x)-(2/x^2)=(2x^3+ax-2)/x^2
因为x∈[1,+∞),所以：x^2＞0
则,令h(x)=2x^3+ax-2 ”到这一步时怎么算?

已知函数f(x)=x^2+alnx 若g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范
解析：∵函数f(x)=x^2+alnx,其定义域为x>0
G(x)=f(x)+2/x= x^2+alnx+2/x
令G’(x)=2 x+a/x-2/x^2=0==>(2x^3+ax-2)/(x^2)=0
∵x^2>0
∴2x^3+ax-2=0==>a=(2-2x^3)/x
当a=0时,x=1
G’’(x)=2-a/x^2+4/x^3=(2x^3-ax+4)/x^3
∴G’’(1)>0
∴G(x)在x=1处取极小量值
∴g（x）=f(x)+2/x在[1,+∞)上是单调函数
当a>0时
(2-2x^3)/x>0==>0