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已知二阶非齐次线性微分方程的三个特解为y1=1,y2=x,y3=x^2,写出该方程的通解.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 09:43:16
已知二阶非齐次线性微分方程的三个特解为y1=1,y2=x,y3=x^2,写出该方程的通解.
要利用这个结论:若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解,则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的解.
若y1、y2是方程p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=f(x)的两个特解,则y1-y2是方程的p1(x)y''+p2(x)y'+p3(x)y=0的特解
利用上面的结论,可知y=x-1与y=x²-1都是这个二阶非齐次微分方程所对应的齐次方程的特解
因为这两个特解非线性相关,所以这个齐次方程的通解可表示为
y=C1(x-1)+C2(x²-1)
所以原微分方程的通解可表示为它的齐次方程的通解再加上它的一个特解
y=C1(x-1)+C2(x²-1)+1,C1,C2是任意常数