作业帮证明向量组线性无关的问题!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 20:45:32
证明向量组线性无关的问题!
设向量β是向量组α1,α2,...,αn的线性组合,β=k1*α1,k2*α2,...,kn*αn,若向量组α1,α2,...,αn线性无关,证明β+α1,α2,...,αn线性无关.
对了 还有 n>=2且K不等于-1
设向量β是向量组α1,α2,...,αn的线性组合,β=k1*α1,k2*α2,...,kn*αn,若向量组α1,α2,...,αn线性无关,证明β+α1,α2,...,αn线性无关.
对了 还有 n>=2且K不等于-1
这道题显然不对啊
设β=-α1,则向量β是向量组α1,α2,...,αn的线性组合,α1,α2,...,αn线性无关
但由于β+α1=0,所以此时必有β+α1,α2,...,αn线性相关,与结论矛盾.
设t1(β+α1)+t2α2+...+tnαn=0,下证t1,...,tn全为0
t1β+t1α1+t2α2+...tnαn=0
因为β=k1*α1+k2*α2,...+kn*αn
(t1k1+t1)α1+(t1k2+t2)*α2+...(t1kn+tn)*αn=0
所以t1k1+t1=0,t1k2+t2=0,.,t1kn+tn=0
K不等于-1,所以t1=0,代入后面式子,可得t2=...=tn=0
从而β+α1,α2,...,αn线性无关
设β=-α1,则向量β是向量组α1,α2,...,αn的线性组合,α1,α2,...,αn线性无关
但由于β+α1=0,所以此时必有β+α1,α2,...,αn线性相关,与结论矛盾.
设t1(β+α1)+t2α2+...+tnαn=0,下证t1,...,tn全为0
t1β+t1α1+t2α2+...tnαn=0
因为β=k1*α1+k2*α2,...+kn*αn
(t1k1+t1)α1+(t1k2+t2)*α2+...(t1kn+tn)*αn=0
所以t1k1+t1=0,t1k2+t2=0,.,t1kn+tn=0
K不等于-1,所以t1=0,代入后面式子,可得t2=...=tn=0
从而β+α1,α2,...,αn线性无关