已知f(x)＝ax+bx+3−2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 05:21:15

已知f(x)＝ax+

+3−2a(a，b∈R)

（1）f′（x）=a-
b
x2，
由于f(x)＝ax+
b
x+3−2a(a，b∈R)的图象在点（1，f（1）处的切线与直线y=3x+1平行，
则有f′（1）=a-b=3，即b=a-3，
此时，f（1）=a+a-3+3-2a=0≠4，
（2）由f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立，得
ax+
a−3
x+3-2a-3lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
令g（x）=ax+
a−3
x+3-2a-3lnx，x∈[1，+∞）
则g（l）=0，g′（x）=a-
a−3
x2-
3
x=
a(x−
3−a
a)(x−1)
x2．
（i）当a＞
3
2，
3−a
a≤l
则g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（ii）a=
3
2时，g′（x）≥0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以g（x）≥g（l）=0，f（x）＞3lnx，故f（x）≥3lnx在[1，+∞）上恒成立．
（iii）当0＜a＜
3
2，
3−a
a＞l，
则x∈（1，
3−a
a）时，g′（x）＜0，g（x）在[1，+∞）上是减函数，
x∈（
3−a
a，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在[1，+∞）上是增函数，
所以存在x₀∈（1，
3−a
a），使得g（x₀）＜g（l）=0，即存在x₀∈（1，
3−a
a），使得f（x₀）＞3lnx₀不成立，
综上所述，所求a的取值范围为[
3
2，+∞）．