设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/12 01:29:49
设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:f(x)≤2x-2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:f(x)≤2x-2.
(Ⅰ)f'(x)=1+2ax+
b
x,
由已知条件得:
f(1)=0
f/(1)=2,即
1+a=0
1+2a+b=2
解之得:a=-1,b=3
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知f(x)=x-x2+3lnx,
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则
g/(x)=−1−2x+
3
x=−
(x−1)(2x+3)
x
当时0<x<1,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0
所以在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减
∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0
即当x>0时,函数g(x)≤0
∴f(x)≤2x-2在(0,+∞)上恒成立
b
x,
由已知条件得:
f(1)=0
f/(1)=2,即
1+a=0
1+2a+b=2
解之得:a=-1,b=3
(Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知f(x)=x-x2+3lnx,
设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则
g/(x)=−1−2x+
3
x=−
(x−1)(2x+3)
x
当时0<x<1,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0
所以在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减
∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0
即当x>0时,函数g(x)≤0
∴f(x)≤2x-2在(0,+∞)上恒成立
设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.
设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线斜率为2
设函数f(x)=x+ax^2+blnx,曲线y=f(x)过P(1,2),且在P点处的
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