设E是R2中的点集,且E中任意两点间的距离都是有理数,则E是可数集,怎么证?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 10:06:47

设E是R2中的点集,且E中任意两点间的距离都是有理数,则E是可数集,怎么证?
是实变函数的习题,小妹在此写过啦~

任取p∈E,令S(p)={d(p,q)|q∈E},则S(p)是有理数的子集,S(p)可数（或者有限）.
任意s∈S(p),令E(s) = { q∈E | d(p,q)=s }是E中所有到p距离为s的点.
则E(s)中的点都在一个以p为圆心,半径为s的圆C(p,s)上.只要说明E(s)中的点
可数,则因为可数*可数仍然可数,E就可数.
对E(s)作同样的处理,即任取x∈E(s),令S(x,s)={d(x,q)|q∈E(s)},S(x,s)可数或有限,
任意t∈S(x,s),令E(t,s)={ q∈E(s)|d(x,q}=t },则E(t,s)包含于C(x,t),但是
圆C(x,t)和圆E(s)的交只有最多两个点,即E(t,s)有限.所以E(s)可数.

设E是R2中的点集,且E中任意两点间的距离都是有理数,则E是可数集,怎么证? 实变函数 “设E是孤立集,E属于R,证明E可数”求大神, 设a是任意向量,e是一单位向量,且a平行e,则下列表达中正确的是（）设E是可数集,证明m*E=0,急在平行四边形ABCD中,点E,F分别是BC,CD上的任意两点,且EF//BD.求证三角形ABE面积等于三角形ADF的面积如图,数轴上的点E所表示的是有理数M,则点E到原点的距离是?如图在三角形ABC中,AB的中垂线交AC于E,若AE=2,则B、E两点间的距离是高数聚点定义：对于任意给定的 x>0,点P 的去心邻域U（P,x）总有E中的点称P是E的聚点有聚点的定义可知点集E 若点E与B的距离是8,则E点表示的数是什么三角形ABC中,点D和E是BC边上任意两点,试说明AB+AC大于AD+AE 如图,平行四边形ABCD中,E、F分别是BC、CD边的任意两点,且EF‖BD,求证S△ABC=S△ADF 如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的任意两点,且EF‖BD,求证:S△ABE=S△ADF