求微分方程y'= 1/(2x-y^2)通解

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 11:13:49

求微分方程y'= 1/(2x-y^2)通解
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∵y'= 1/(2x-y²)
∴dx/dy=2x-y².(1)
∵齐次方程dx/dy-2x=0的特征方程是r-2=0,则r=2
∴齐次方程dx/dy-2x=0的通解是x(y)=Ce^(2y) (C是积分常数)
于是,设微分方程(1)的通解是x(y)=C(y)e^(2y) (C(y)是关于y的函数)
∵x'(y)=C'(y)e^(2y)+2C(y)e^(2y)
代入微分方程(1),得C'(y)e^(2y)+2C(y)e^(2y)=2C(y)e^(2y)-y²
==>C'(y)e^(2y)=-y²
==>C'(y)=-y²e^(-2y)
∴C(y)=-∫y²e^(-2y)dy
=y²e^(-2y)/2-∫ye^(-2y)dy (应用分部积分法)
=y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2-1/2∫e^(-2y)dy (再次应用分部积分法)
=y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2+e^(-2y)/4+C (C是积分常数)
从而,x(y)=[y²e^(-2y)/2+ye^(-2y)/2+e^(-2y)/4+C]e^(2y)
=y²/2+y/2+1/4+Ce^(-2y)
故原微分方程的通解是x(y)=y²/2+y/2+1/4+Ce^(-2y) (C是积分常数)

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