作业帮已知函数f(x)=x²+x-1,α,β是方程f(x）=0的两个根（α＞β）f'(x)是f(x）的导数,设a1=
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 06:24:02
已知函数f(x)=x²+x-1,α,β是方程f(x）=0的两个根（α＞β）f'(x)是f(x）的导数,设a1=1,an+1=an-f(a
an+1=an-f(an)÷f"(an)(n=1.2.3...)
(1)求α,β的值（2）证明任意的正整数n都有an＞α（3）记bn=ln(an－β）／（an-α）（n=1,2,3.)求数列bn的前n项和sn
an+1=an-f(an)÷f"(an)(n=1.2.3...)
(1)求α,β的值（2）证明任意的正整数n都有an＞α（3）记bn=ln(an－β）／（an-α）（n=1,2,3.)求数列bn的前n项和sn
(1)解析：f(x)=x^2+x-1=0,α=(-1+√5)/2,β=(-1-√5)/2
(2)证明：设a1=1,a(n+1)=an-f(an)÷f"(an)(n=1.2.3...)
a(n+1)=[(an)^2+1]/[2an+1]
设g(x)=(x^2+1)/(2x+1)
令g’(x)=2(x^2+x-1)/(2x+1)^2=0
X1=α>0,x2=β0,∴函数g(x)在x1处取极小值g(α)=α≈0.618
∴当x>α时,函数g(x)单调增
∴当x=n (n∈N+)时,g(x)> α
即对任意的正整数n都有an＞α成立.
(2)证明：设a1=1,a(n+1)=an-f(an)÷f"(an)(n=1.2.3...)
a(n+1)=[(an)^2+1]/[2an+1]
设g(x)=(x^2+1)/(2x+1)
令g’(x)=2(x^2+x-1)/(2x+1)^2=0
X1=α>0,x2=β0,∴函数g(x)在x1处取极小值g(α)=α≈0.618
∴当x>α时,函数g(x)单调增
∴当x=n (n∈N+)时,g(x)> α
即对任意的正整数n都有an＞α成立.
已知函数f(x)=x²+x-1,α,β是方程f(x）=0的两个根（α＞β）f'(x)是f(x）的导数,设a1=
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