在数列{an}中，an=4n-1+n，n∈N*．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 14:03:54

在数列{a_n}中，a_n=4^n-1+n，n∈N^*．
（1）求数{a_n}的前n项和S_n；
（2）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

（1）∵数列{a_n}的a_n=4^n-1+n，n∈N^*．
∴数列{a_n}的前n项和S_n=
4n−1
4−1+
n(n+1)
2=
1
3(4n−1)+
1
2(n2+n)．
（2）证明：对任意的n∈N^*，S_n+1-4S_n=
4n+1−1
3+
(n+1)(n+2)
2-4（
1
3(4n−1)+
1
2(n2+n)）．
=−
1
2(3n2+n−4)
当n=1时，S₂=a₁+a₂=8，4S₁=8，∴S₂=4S₁；
当n≥2时，3n+4＞0，n-1＞0，∴−
1
2(3n2+n−4)＜0，即S_n+1＜4S_n．
∴不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．在数列{An}中,已知An+A(n+1)=2n (n∈N*) 数列{an}中，an+1+an=3n-54（n∈N*）．在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N※ 在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N* 已知数列{an}满足an+1=2an+n+1（n∈N*）．在数列{an}中,an=1/n(n+1)(n+2),求Sn的极限在数列{an}中,a1=3,an=-an-1-2n+1(n≥2,且n属于N*) (1)证明：数列{an+n}是等比数列, 在数列{an}中，a1=1，a2=2，an=an-1-an-2（n∈N*，n≥3），则a2010=______．在数列{an}中,a1=2,a(n+1)=4an-3n+1(n为正整数）,证明数列{an-n}是等比数列在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于N,证明：{an-n}是等比数列. 已知数列{an}中，a1=-58，an+1-an=1n(n+1)（n∈N*）