在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 07:47:14

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）证明数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）证明不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

（Ⅰ）证明：由题设a_n+1=4a_n-3n+1，得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N^*．
又a₁-1=1，所以数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a_n-n=4^n-1，于是数列{a_n}的通项公式为a_n=4^n-1+n．
所以数列{a_n}的前n项和Sn＝
4n−1
3+
n(n+1)
2．
（Ⅲ）证明：对任意的n∈N^*，Sn+1−4Sn＝
4n+1−1
3+
(n+1)(n+2)
2−4(
4n−1
3+
n(n+1)
2)=−
1
2(3n2+n−4)≤0．
所以不等式S_n+1≤4S_n，对任意n∈N^*皆成立．

在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N※ 在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N* 在数列an中,a1=2 an+1=an+3n则an= 在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1 在数列{an}中，a1=1，a2=2，an=an-1-an-2（n∈N*，n≥3），则a2010=______．在数列{an}中,a1=3,an=-an-1-2n+1(n≥2,且n属于N*) (1)证明：数列{an+n}是等比数列, 在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于N,证明：{an-n}是等比数列. 在数列｛an｝中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n属于正整数 (1)证明｛an-n｝是等比数列 (2)求数列｛a 在数列{an}中,已知(a1+a2+…+an)/n=(2n-1)an 已知数列{an}中，a1=2，a2=4，an+1=3an-2an-1（n≥2，n∈N*）．在数列中A1=2 An+1=4An-3n+1证明An-n是等比数列