函数f（t）对任意的整数x,y均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy且f（1）=1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 03:58:13

函数f（t）对任意的整数x,y均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy且f（1）=1
问（1）
当t属于Z,用t的代数式表示f（t+1）-f（t）
问（2）
当t属于Z,求f（t）的解析式
重点给第2问.这个其实还有第三问- -等我考虑下.实在令我纠结的话我再补充上来
那啥。可不可以给下比较严密的推理。大题的话过程这么写不大好(⊙o⊙)… 那问明天再说。我站着打字脚跟疼。趴床赶作业去

首先说一下答案：第一问答案是1+2t 第二问答案为 f(t)=t^2(表示t的平方）
第一问,首先根据f（1）=f(1+0)=f(1)+f(0)=1+f(0)=1,得出f(0)=0,
f(0)=f(1-1)=f(1)+f(-1)+2*1*(-1)=1+f(-1)-2=0,得出f(-1)=1
然后对f(t+1)-f（t）=f(1)+2t-f(0)=1+2t 第一问毕
第二问,根据f(0)=0,f(1)=1,可以退出以下几个等等：
f(-1)=1
f(2)=4 f(-2)=4
f(3)=9 f(-3)=9
f(4)=16 f(-4)=16
f(5)=25 f(-5)=25
..
由此猜测f(t)=t^2,然后用数学归纳法证明自己的推测就行了
首先,当t=0,f(t)=t^2 成立,假设t=n(n是正整数 ,n趋向无穷大）,f(n)=n^2
这样后我们再来证明当t=n+1 时成立就行了
证明：f(n+1)=f(n)+f(1)+2*n*1=n^2+1+2n=(n+1)^2,得出当t=n+1时也成立.所以f(t)得解析式为：f(t)=t^2 (t的平方）证明毕
然后假设t=n(n是负整数,n趋向于无穷大）,f(n)=n^2,这样后我们再来证明当t=n-1 时成立就行了
证明：f(n-1)=f(n)+f(-1)+2*n*（-1）=n^2+1-2n=(n-1)^2,得出当t=n-1时也成立.
所以综上所述,当t属于整数时候f(t)得解析式为：f(t)=t^2 (t的平方）证明毕
记得高中时候学过数学归纳法,不知道这种证明方法你满不满意,

已知函数f(x）对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值函数y=f(x)的定义域为（0,+∞）,且对定义域内的任意x、y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1,则f 设函数f（x）满足f(0)=1,且对任意x,y属于R,都有f(xy+1)=f(x)乘f(y)减f(y)减x加2.求f(x 已知函数f（x）对任意的实数x,y都有：f（x+y）=f（x）+f（y）-1,且x 设函数f(x)满足f（0）=1,且对任意X,Y属于R都有F(xy+1)=f(x)*f(y)-f(y)-x+2 求(FX) 已知函数f(t)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2 函数y=f(x)的定义域为（0,正无穷大）,且对定义域内的任意x,y都有f(xy）=f（x)+f(y),且f(2)=1 设函数f（x）的定义域为正实数,且有1.f（1/2）=1 2.对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）+f（y） 3.f 若函数f(x)的定义域是R,且对任意X,Y属于R,都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(-1)=0,证明f（x）是偶对任意实数x、y，函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（x+y）-xy-1，若f（1）=1，则对负整数n，f（n）的表定义在R上的函数f（x),对任意的x、y∈R,有f（x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f（0）不等于1,求证 1.对任意的正数函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),且f（8）=3,则f（2）=?