一个证明线性无关的问题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/07 21:16:28

一个证明线性无关的问题
设r（A）=r,B是Ax=b（其中b不等于0）的一个特解,a1,a2.an-r是导出组Ax=0的一个基础解系,证明a1,a2.an-r,B线性无关

证明
如果a1,a2.an-r,B线性相关,则存在一组不全为零的数k1,k2,...,k(n-r),k(n-r+1),使得
k1a1+k2a2...k(n-r+1)a(n-r)+k(n-r+1)B=0
显然k(n-r+1)不等于零,否则k1a1+k2a2...k(n-r+1)a(n-r)=0
且k1,k2,...,k(n-r)不全为零,这与a1,a2...an-r是基础解系矛盾(基础解系必线性无关),由k(n-r+1)不等于零得
B=(k1a1+k2a2...k(n-r+1)a(n-r))/k(n-r+1))
AB=(A(k1a1+k2a2...k(n-r+1)a(n-r)))/k(n-r+1))=0
AB=b,故得b=0,这与b不等于0矛盾.

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