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在三棱锥T-ABC中,TA,TB,TC两两垂直,T在低面ABC上的正投影为D.求证:1/TD^2=1/TA^2+1/TB

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/04 06:16:35
在三棱锥T-ABC中,TA,TB,TC两两垂直,T在低面ABC上的正投影为D.求证:1/TD^2=1/TA^2+1/TB^2+1/TC^2
连接CD并且延长交AB于E,由已知,AB⊥平面TCDE,∴AB⊥TE,AB⊥CE,∴TD·CE=TC·TE,
TE·AB=TA·TB,∴TD²·CE²=TC²·TE²,TE²·AB²=TA²·TB²,CE²=TC²+TE²,AB²=TA²+TB²,
∴TD²·﹙TC²+TE²﹚=TC²·TE²,TE²·﹙TA²+TB²﹚=TA²·TB²,
∴1/TD²=1/TC²+1/TE²,1/TE²=1/TA²+1/TB²,
∴1/TD²=1/TC²+1/TA²+1/TB².