证明：x|f(x)的k次方当且仅当x|f(x),其中k为正整数

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 01:56:30

x | f(x)^k当且仅当0是多项式f(x)^k的根,
当且仅当f(0)^k = 0,
当且仅当f(0) = 0,
当且仅当0是f(x)的根,
当且仅当x | f(x).
再问：不懂，能详细点吗？明白一点吗？
再答：具体是哪一步不懂? 符号^k表示k次方. 证明主要用的是下面这个结论: 一个多项式P(x)被x整除, 当且仅当0是P(x)的根, 即成立P(0) = 0. 必要性: 若P(x)被x整除, 存在Q(x)使P(x) = x·Q(x), 代入x = 0即得P(0) = 0. 充分性: 若P(0) = 0, 可知P(x)常数项为0, P(x)可提出因子x, 即x整除P(x). 用这个结论, x | f(x)^k当且仅当f(0)^k = 0. 但一个数的k次方为0当且仅当其本身为0. 于是f(0)^k = 0当且仅当f(0) = 0. 再由上述结论得f(0) = 0当且仅当x | f(x).

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