已知函数f(x)= √3sinωxcosωx-cos^2ωx+1/2(ω>0,x∈R)的最小正周期为π/2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 21:15:11

已知函数f(x)= √3sinωxcosωx-cos^2ωx+1/2(ω>0,x∈R)的最小正周期为π/2
1、求f(2π/3)的值,并求出函数f(x)的图像的对称中心的坐标
2、当x∈[π/3,π/2]时,求函数f(x)的单调递增区间
注：π=pi

f(x)= √3sinωxcosωx-cos^2ωx+1/2
=√3/2*(2sinwxcoswx)-cos^2wx+1/2
=√3/2sin2wx-cos^2wx+1/2
=√3/2sin2wx-[(1+cos2wx)/2]+1/2
=√3/2sin2wx-1/2cos2wx
=-cos(π/3+2wx)
因为最小正周期为π/2,所以T=2π/2w=π/2,w=2
f(x)=-cos(π/3+4x)
x=2π/3时,f(x)=1,由正余弦图像知,其中心对称坐标即为其与X轴的交点,所以f(x)的中间对称坐标为：(π/24+kπ/2,0),
(2)f(x)=-cos(π/3+4x),其单调增区间为-π+2kπ≤π/3+4x≤0,即-π/3+1/2kπ ≤ x ≤ -π/12+1/2kπ即[-π/3+1/2kπ,-π/12+1/2kπ]
同理,其单调减区间为：-π/12+1/2kπ ≤ x ≤ π/6+1/2kπ即[-π/12+1/2kπ,π/6+1/2kπ ]
所以x∈[π/3,π/2]时,
x∈[π/3,5π/12]为增函数,在x∈[5π/12,π/2]为减函数.
上面所以的K为整数.