作业帮问道初等数论数论的题证明：如果ax^2+by^2=c有一个整数解,那么gcd(a,b)|c.然后再反过来证明.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/26 06:18:31
问道初等数论数论的题
证明：如果ax^2+by^2=c有一个整数解,那么gcd(a,b)|c.
然后再反过来证明.
证明：如果ax^2+by^2=c有一个整数解,那么gcd(a,b)|c.
然后再反过来证明.
gcd(a,b)|c 是一个什么 符号?
再问： 就是c能被gcd(a,b)整除
再答： 证明：设 gcd(a,b) =K（k为整数），则a=m*K ，b=nK （m，n都是整数） ax^2+by^2=c 有整数解，则x，y都是整数 mkx^2+nky^2=c K（mx^2+ny^2）=c 其中m，n，x，y都是整数 所以 k 能被C整除，k=gcd（a，b），所以gcd(a,b)|c。命题得证。 反过来，假设gcd(a,b)|c，同样设gcd(a,b) =K。则a=m*K ，b=nK，m，n相互不能整除 则 ax^2+by^2=c mkx^2+nky^2=c K（mx^2+ny^2）=c K被整除 所以（mx^2+ny^2）为整数 L x^2=L-n/m y^2 假设y是整数，这n/m一定是分数 。 则 L--n/m y^2 一定是分数，所以 x^2一定不是整数，x 一定不是整数。 所以反过来，如果ax^2+by^2=c，有gcd(a,b)|c，不一定x，y有整数解。
再问： 就是c能被gcd(a,b)整除
再答： 证明：设 gcd(a,b) =K（k为整数），则a=m*K ，b=nK （m，n都是整数） ax^2+by^2=c 有整数解，则x，y都是整数 mkx^2+nky^2=c K（mx^2+ny^2）=c 其中m，n，x，y都是整数 所以 k 能被C整除，k=gcd（a，b），所以gcd(a,b)|c。命题得证。 反过来，假设gcd(a,b)|c，同样设gcd(a,b) =K。则a=m*K ，b=nK，m，n相互不能整除 则 ax^2+by^2=c mkx^2+nky^2=c K（mx^2+ny^2）=c K被整除 所以（mx^2+ny^2）为整数 L x^2=L-n/m y^2 假设y是整数，这n/m一定是分数 。 则 L--n/m y^2 一定是分数，所以 x^2一定不是整数，x 一定不是整数。 所以反过来，如果ax^2+by^2=c，有gcd(a,b)|c，不一定x，y有整数解。
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